Saturday, October 13, 2007

一個因與果的矩陣 - 混沌的海岸線

(八之七)

在說「好戲」之前,想先說說混沌(Chaos)與碎形(Fractal)。前文所述羅倫茲的「蝴蝶效應」,引出了一門新的學科,世人稱之為「混沌學」。一個不含隨機因素的模型,由於對初始條件非常敏感,而具有貌似隨機的行為,我們便可稱其為混沌系統(Chaotic System)。而研究這個系統的行為,便是混沌學了。這其實並未脫離決定論的因果關係範疇,只是引入概率的概念來研究一些複雜系統 (Complex Systems)如氣象,生態,經濟等等而已。但後來碎形幾何(Fractal Geometry)的出現,卻為混沌學注入了新的元素,令其成為了或許是本世紀最熱門的學科。

數學家曼德布洛特(Benoit B. Mandelbrot)是一個對代數(Algebra)概念有缺憾的人,但他卻對幾何(Geometry)有著無比的天份。他曾長時間研究經濟與市場價格的改變,加上不斷接觸不同學科的經驗,與及他在IBM工作時得到最先進的電腦協助,最終令他發現曼德希洛特集(Mandelbrot Set),後來還提出碎形幾何的概念。曼德布洛特指出,自然界中許多事物都具有自我重複(Recursive Self-Similarity)的特性,例如海岸線、閃電、樹木、葉子、螺殼、肺部等人類器官、行星軌跡、以至市場價格等人類行為,都符合碎形的概念。他亦相信,人類往後會發現更多的事物符合碎形的規律,而一些我們暫時發現不到碎形規律的事物,從一個更高的層次來看便會出現規律了。例如一個在英國某海灘漫步的人,是絕對不會發現整個英國海岸線都符合碎形規律的。

當然我們現在還不能解釋這些規律的成因,只能記錄和研究這些發現,就像開普勒(Johannes Kepler)一樣,雖能從收集到的數據推算出行星軌跡的關係,但還需留待後人作進一步的解釋。

混沌系統的研究發現,很多系統都在不同的時間下表現出相似的變化模式,與碎形在其空間標度下的相似性十分相象。如前述市場價格和經濟變化的混沌系統,曼德希洛特便能找到其碎形規律。這一切都令到混沌學愈來愈被人重視。值得一提的是,碎形幾何的研究其實很大程度是依賴電腦技術的進步,因為在曼德布洛特發表碎形幾何之前的1920年代,數學家朱利亞(Gaston M. Julia)其實已找到一個碎形公式,只是他沒有先進的電腦,所以無法有效地表達而已。這對純粹數學的傳統觀念是一個重大挑戰,相信日後亦會有不少數學上的發現是因為先進的計算技術而產生。

4 comments:

Anonymous said...

以前曾經研究過自我相似過程﹐與Mandelbrot教授有一面之緣。一直認為這些東西不能當科普寫﹐結果你做到了。

Elvis said...

嘩, 想不到有高人來訪。與名人有一面之緣,想來也有差不多的級數了。我也差一點有機會見著我那行的頂尖人物, 原打算去美國簡介研究, 機票也買了, 但後來因事去不成。

Anonymous said...

第一次往那些頂尖會議時真有點朝聖感覺﹐遠遠看見學人們高談學問﹐後來在酒店的電梯裏﹐4個參與者分別往22,23,24,25樓﹐其中一位美人說這個Probability是多少﹐我說「是50%﹐我是主觀的。」然後四人高聲大笑﹐其中一位原來是某獎的得獎者。

Elvis said...

我完全明白那種朝聖的感覺, 我也經歷過, 第一次站在台上對著那些只有在書和論文才看到其名字的人, 心也會跳出來。